Aha10 Erklärung

Aha11Die beiden roten Quadrate haben jeweils die Seitenlängen:

1, 2, 3, 4, 5, …  (von unten nach oben gezählt)

Sie enthalten also jeweils

1²+ 2²+ 3²+ 4²+ 5², … kleine Rauten.
Das sind im Bild rechts: 2·55 Stück

Die blauen Rechtecke enthalten von oben nach unten gezählt:

1·5 + 3·4 + 5·3 + 7·2 + 9· 1 = 55 kleine Figuren

Nun muss man eine Variable einführen:

Man hat dann:

  • in rot: 2 · (1² + 2² + 3² + … + n² )
  • in blau: 1² + 2² + 3² + … + n²
  • insgesamt: 3·(1² + 2² + 3² + … + n²)

Andererseits kann man die Gesamtzahl der Figuren über die Seitenlängen des Rechtecks berechnen: (2n+1)·(1 + 2 + 3 + … + n) = (2n+1)·n·(n+1) / 2

Setzt man dies nun gleich, ergibt sich die schon angegebene Formel:Formel2